Ключи к устройству земли и мироздания...

[Tereza]

Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из двенадцати кусков кожи...

Платон - "Федон"

Этюд первый

Сферическая сковорода

Л.И.ВЕРХОВСКИЙ

Как видно из эпиграфа, мысль о том, что форма нашей планеты связана с правильными многогранниками, возникла давно.

Напомню, что всего существует пять таких многогранников : тетраэдр (а), куб (б), октаэдр (в), додекаэдр (г), икосаэдр (д),

причем куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу — соединив центры соседних граней одного из полиэдров каждой пары, можно получить другой.

Поскольку Платон видел в этих фигурах ключ к устройству мироздания, их стали называть также "Платоновыми телами" (см. статью "Платоновы тела и элементарные частицы" в "Химии и жизни", 2006, № 6).

Представление о додекаэдрической Земле возродил в 1829 году французский геолог, член Парижской академии Эли де Бомон.

Он выдвинул гипотезу, что исходно жидкая планета при застывании приняла форму додекаэдра.

Де Бомон построил сеть, состоящую из ребер додекаэдра и двойственного ему икосаэдра, а затем стал двигать ее по глобусу.

Так он искал положение, которое в наибольшей степени отразило бы особенности рельефа нашей планеты.

И нашел вариант, когда грани икосаэдра более или менее совпали с наиболее устойчивыми областями земной коры, а его тридцать ребер — с горными хребтами и местами, где происходили ее изломы и смятия.

Сто лет спустя идею подхватил наш соотечественник С.И.Кислицын, предложивший совместить две противоположные вершины икосаэдра с полюсами Земли (рис. 2); при этом крупнейшие месторождения алмазов вроде бы оказались в некоторых других его вершинах. А в последней трети прошлого века модель де Бомона с ориентацией Кислицына стали развивать у нас в стране Н.Ф.Гончаров, В.А.Макаров и В.С.Морозов (см. их статью в "Химии и жизни", 1974, № 3 и отклик на нее — 1976, № 4. Более подробно об этом рассказано в книге "Земля — большой кристалл?". М.: Захаров, 2005).

Хотя энтузиасты модели утверждали, что она хорошо отражает многие закономерности в строении планеты, им удалось убедить далеко не всех специалистов. Но если допустить, что такой подход все же содержит рациональное зерно, то появляется вопрос: какие физические факторы могли вызвать образование подобной структуры?

Гончаров, Макаров и Морозов полагали, что внутри Земли возникло твердое ядро в виде додекаэдра, которое направляло потоки вещества к поверхности; в результате образовался как бы силовой каркас планеты, повторяющий структуру ядра. Однако по мнению нашего известного кристаллографа и минералога И.И.Шафрановского, додекаэдр и икосаэдр с их осями симметрии пятого порядка не обладают кристаллографической симметрией, и потому предположение о формировании в сердцевине планеты подобных тел неправомерно.

Возможно, пролить свет на эту загадку способны молодые науки — неравновесная термодинамика и синергетика. Их сейчас широко применяют в науках о Земле — см., например, книгу "Самоорганизация минеральных систем" (М.: ГЕОС, 2001) геофизиков П.М.Горяинова и Г.Ю.Иванюка из Кольского НЦ РАН.

Как теперь хорошо известно, в нелинейной системе, поддерживаемой вдали от положения равновесия, могут образовываться упорядоченные структуры, которые называют диссипативными. Яркий пример таких структур - "ячейки Бенара".

Чтобы их получить, достаточно налить на сковороду вязкую жидкость и поставить ее на огонь.

При достаточно интенсивном нагревании в жидком слое образуются сотоподобные — в виде шестигранных призм — конвективные ячейки (их размер одного порядка с толщиной слоя).

В центре каждой ячейки вещество движется вверх, затем смещается к периферии и там опускается вниз (или наоборот), то есть происходит циркуляция жидкости внутри каждой призмы.

Почему возникают шестиугольники, а не треугольники или квадраты, которые тоже могут без пробелов заполнять плоскость?

Тут, согласно И.Пригожину, проявляет себя принцип минимума производства энтропии, который достигается именно на шестиугольных ячейках (у них наименьшая удельная поверхность, то есть поверхность на единицу объема).

А какова будет диссипативная структура в слое жидкости, нанесенном на поверхность сферической "сковороды" (наверно, это лучше наблюдать в космосе — в невесомости), внутри которой помещен источник тепла?

Замощение сферы одними шестиугольниками невозможно, так как противоречит теореме Эйлера, связывающей числа вершин, ребер и граней в любом полиэдре (по этой же причине не бывает фуллеренов, состоящих только из шестичленных углеродных циклов, — см. "Химию и жизнь", 1992, № 1).

Вот Иванюк с Горяиновым и считают, что сфера покроется сеткой из пятиугольников, поскольку они наиболее близки к шестиугольникам, однако ими замостить поверхность сферы можно. Значит, получится додекаэдр! Тот же вывод останется в силе, если жидкий слой на поверхности сферы будет становиться все толще, а радиус сферы — все меньше, так что жидкость заполнит почти весь объем шара.

Применительно к Земле это означает, что если она миллиарды лет представляла собой горячее ядро, окруженное вязкой жидкостью, то в ней могли возникать пятиугольные конвективные ячейки (сторона которых соизмерима с радиусом планеты). И тогда потоки вещества в них, остывая и затвердевая, формировали бы тот додекаэдрический каркас, о котором говорили де Бомон и его последователи.

Этюд второй

Застывшая музыка

При первом взгляде на глобус распределение материков и океанов кажется малоупорядоченным, однако некоторые закономерности, как давно замечено, все же имеются (тут я следую изложению И.И.Шафрановского в его популярной книге "Симметрия в природе". Л.: Недра, 1985).

Во-первых, два разделяемых экватором полушария сильно разнятся: в Северном преобладает суша, в Южном — море. Во-вторых, формы материков и океанов близки к треугольным, причем материковые треугольники основаниями обращены к северу, а суживающимися концами к югу; океанические же — наоборот. В-третьих, диаметры, проведенные через сушу, в подавляющем большинстве случаев пройдут по другую сторону земного шара через воду, то есть соблюдается антиподальность материков и океанов.

Последний факт означает, что у земной поверхности нет центра симметрии, но имеется центр антисимметрии, или двухцветной симметрии, представления о которой развивал наш крупнейший кристаллограф академик А.В.Шубников. Суть в том, что исходно равноправные центрально-симметричные элементы некоторой фигуры разбиваются на два класса, которые условно помечают двумя цветами. И тогда операция отражения от центра переводит элемент одного цвета в элемент другого — в антиэлемент.

(Любопытный пример антисимметрии встречаем в "Божественной комедии" Данте. Ад у него расположен в доходящей до центра Земли воронке, которая возникла при падении низвергнутого с неба Люцифера. Одновременно произошло вспучивание в другом полушарии, точно в противоположном месте, — там образовалась огромная гора, на вершине которой находится Рай, а на склонах Чистилище. Как видим, дантовские Ад и Рай антиподы не только по смыслу, но и географически.)

Шафрановский отметил, что перечисленные выше свойства рельефа Земли могут быть в первом приближении охвачены геометрической моделью, предложенной в 50-х годах видным советским геологом Б.Л.Личковым. Она основана на октаэдре, восемь граней которого раскрашены в два цвета так, чтобы соседние грани были разноцветными (рис. За). Ясно, что "шахматная" раскраска отвечает антисимметрии: напротив каждой грани лежит грань другого цвета.

Пусть белые грани изображают материки, а синие — океаны. Положим октаэдр на белую грань, которая будет Антарктидой (рис. 36). Тогда верхняя синяя грань изобразит Северный Ледовитый океан, а три окружающие ее треугольные белые грани станут теми треугольниками, которые видны на глобусе — Северная и Южная Америки, Европа плюс Африка и Азия (рис. Зв). Перевернув октаэдр, получим другую картину: вокруг белой грани (Антарктиды) лежат три синие — океаны.

По мнению автора "Симметрии в природе", модель наглядно демонстрирует соотношения моря и суши. А далее он пишет: "Теперь следовало бы истолковать ее с позиций принципа симметрии Кюри. Однако сейчас мы еще не сумеем этого сделать... Решение такой задачи — в будущем".

Принцип Кюри гласит: "Симметрия причин сохраняется в симметрии следствий", то есть Шафрановский поставил вопрос о физических факторах, которые привели к наблюдаемой симметрии двухцветного октаэдра. А не даст ли ответ на него одна из самых древних наук — акустика, или учение об упругих волнах?

У любого твердого тела в зависимости от распределения в нем масс и жесткостей имеется набор так называемых собственных колебаний (стоячих волн, гармоник). Каждое из них характеризуется своими пучностями, то есть местами, где отклонения максимальны, и узловыми линиями (или поверхностями), где сохраняется покой.

В конце XVIII века немецкий физик Э.Хладни придумал, как можно визуализировать собственные колеба-1 ния пластины (или другого предмета). На нее насыпают немного сухого песка, а затем возбуждают колебания, которые стряхивают песок с пучностей, так что он собирается в наименее подвижных местах. Поэтому линии, по которым в итоге располагается песок, — узловые, и узор таких линий ("фигура Хладни") показывает форму и частоту волн. Этот узор зависит от симметрии пластины (с учетом особенностей ее закрепления).

А каковы будут собственные объемные колебания шара? Во-первых, он может расширяться и сжиматься как целое, и это будет первая гармоника. В принципе возможны узловые поверхности в виде плоскостей, рассекающих шар на дольки (как апельсин). При этом поверхность шара разделится узловыми линиями-меридианами на четное число секторов, так что каждому гребню будет отвечать своя впадина (колебания в соседних секторах должны идти в противофазе).

Попробуем шахматно раскрасить первое из платоно-вых тел — тетраэдр. Это сделать не удастся, так как для его раскраски требуются четыре краски; неудача постигнет нас также на кубе, икосаэдре и додекаэдре. Единственным исключением будет октаэдр, который, как мы видели, допускает такую раскраску (рис. За), и число бело-синих пар равно четырем.

(Известно, что граф можно раскрасить двумя цветами, только если в каждой его вершине сходится четное число ребер. Среди всех Платоновых тел это условие выполняется лишь в октаэдре. А у других таких тел, чтобы выполнить требование, придется разбить их грани на меньшие треугольники; понятно, что частоты при этом возрастут.)

Итак, октаэдр дает самую низкую частоту, и, видимо, такое колебание упругого шара возможно. Но ведь и планету (жидкую или твердую) тоже можно считать упругим телом со своим набором стоячих волн. Многие ученые высказывали мысль, что в период формирования Земли происходили ее пульсации, то есть сопряженные поднятия и опускания отдельных ее частей.

Значит, выпуклости и вогнутости Голубой планеты могли возникнуть из-за ее октаэдрического колебания. Расположив октаэдр так, чтобы две его противоположные грани были перпендикулярны земной оси, мы придем к модели Личкова, и она получит свое физическое, точнее, акустическое обоснование.

Как сказал Гете, архитектура — это застывшая музыка. Рискнем дополнить мысль поэта и естествоиспытателя: рельеф нашей планеты — это застывшее звучание октаэдра.

Заключение

В обоих этюдах основные идеи сходны: некоторый физический процесс нарушает непрерывную симметрию сферы и в результате возникает дискретная симметрия одного из Платоновых тел. Не исключено, что во времена, когда Земля "была безвидна и пуста", подобные эффекты определили основные черты ее поверхности. А так как в разные геологические эпохи действовали и многие другие факторы, то окончательная картина оказалась гораздо сложнее и запутаннее.

Судя по всему, правильные многогранники будут играть все более важную роль в разных областях знаний. И тут не просто ludi mathematici (математические игры) — эти фигуры внутренне связаны с природными явлениями.

Как говорил Платон, из всех видимых тел они самые чудесные, причем каждое из них прекрасно по-своему.

Наверное, здесь именно тот случай, когда красота и истина — одно...

Edited October 1, 2008 by Тереза

[Usta_Valod]

Супер!

[Tereza]

Супер!

Ага!

Ведь не зря древние говорили: "Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое"...

Также, не зря Дали для своей "Тайной вечере" выбрал самый мощный многогранник додекаэдр...